Download Algorithmes d’approximation by Vijay V. Vazirani PDF

By Vijay V. Vazirani

Le champ des algorithmes d'approximation est aujourd'hui l'un des domaines de recherche les plus actifs en informatique. Il allie los angeles profondeur de los angeles th?orie math?matique aux promesses d'applications pratiques d'un int?r?t consid?rable. l. a. plupart des probl?mes issus d'applications appropriate de domaines aussi diff?rents que l. a. notion de circuits VLSI, l. a. perception et l. a. planification de r?seaux, l'ordonnancement, los angeles th?orie des jeux, los angeles biologie ou los angeles th?orie des nombres, sont des probl?mes NP-difficiles. Leur r?solution exacte demanderait des ressources informatiques inaccessibles et ne peut donc ?tre envisag?e. Pour faire face ? cette scenario, un grand nombre d'algorithmes proposant des strategies approch?es ? ces probl?mes ont ?t? d?velopp?s. Une quantit? consid?rable de r?sultats nouveaux a ?t? ?tablie lors de los angeles derni?re d?cennie et a r?volutionn? ce champ d'?tude. Le d?fi relev? par cet ouvrage est de pr?senter clairement les th?ories et m?thodologies sous-jacentes sans rien ?ter ? los angeles beaut? des r?sultats. Ce livre disclose ces questions algorithmiques complexes en proposant des d?monstrations simples et intuitives accompagn?es de nombreux exemples.

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Example text

Sans perte de g´en´eralit´e, nous pouvons supposer qu’aucun des mots si n’est facteur d’un autre sj , pour j = i. Ce probl`eme est NP-difficile. Le premier algorithme auquel on pense pour trouver un surfacteur minimum est sans doute l’algorithme glouton suivant. Appelons chevauchement 5 d’un mot s sur un mot t le plus long suffixe de s qui est un pr´efixe de t. L’algorithme utilise un ensemble de mots T ; initialement ` chaque ´etape, l’algorithme s´electionne deux mots de T de chevauT = S. A chement maximum et les remplace par le surfacteur obtenu en les chevauchant au maximum.

I=1 Chaque Ai est clairement une coupe s´eparatrice pour si . Puisque Ci est une coupe s´eparatrice pour si de poids minimum, w(Ci ) w(Ai ). Remarquons qu’on obtient donc une 2-approximation en prenant l’union des k coupes Ci . Or, puisque C est obtenue en ´eliminant la coupe la plus lourde des Ci , w(C) 6 1− 1 k k w(Ci ) i=1 Isolating cut, en anglais. 1− 1 k k w(Ai ) = 2 1 − i=1 1 k w(A). 4. 3 ne repose pas directement sur un minorant. 2 propose un algorithme avec la mˆeme garantie de performance, utilisant un minorant obtenu par relaxation d’un programme lin´eaire.

A poids de v. t(v) d´ecroˆıt au cours de l’algorithme. Lorsque t(v) atteint z´ero, v est s´electionn´e. c(e) est le prix pay´e par l’arˆete e. D´emontrez que cet algorithme est une 2-approximation. Indication : D´emontrez que le prix total pay´e par les arˆetes est un minorant de OPT et que le poids de la couverture C est au plus le double de ce prix. 9 Set multicover , en anglais. 17 1. Initialisation : C←∅ ∀v ∈ V , t(v) ← w(v) ∀e ∈ E, c(e) ← 0 2. Tant que C n’est pas une couverture par sommets faire : Choisir une arˆete non couverte, {u, v}.

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